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如何解决“数字问题”?
来源: 时间:2015-1-14 16:05:00 点击: 今日评论:

 克服粗心

  在数学问题中有一类被称作“数字问题”的题目,与同学们在书本上学到的一些数学问题相比,似乎“不太规则”,有的数学课外参考书称它为“杂类问题”。解答这类题目要求同学们要认真审题,悉心研究题意,关键是做到合理分类,这样才能正确解题。

例1 在1~1999内,是3的倍数,不是5的倍数的数一共有多少个?为什么?

[分析与解]这道题要求3的倍数有多少个,但有两个条件限制:(1)规定在1~1999内;(2)只是3的倍数,但不是5的倍数。比如:3×5=15,15是3的倍数,但它同时又是5的倍数,不符合题目要求,所以在1999内,15以及15的倍数都不能算进去。这样在1~1999内就把3的倍数分为两类:一类是3的所有倍数;一类是15以及15的倍数。然后从3的所有倍数的个数中减去15以及15的倍数的个数,即为题目所求的问题。有三种解法:

解法(一) 在1~1999内3的倍数共有:1999÷3=666……1。余1,不到3的1倍,可以不考虑。在1~1999内15的倍数共有:1999÷15=133……4。余4,不到15的1倍,也不考虑。两者相减,便是所求的问题:666-133=533(个)。

解法(二) 在1~1999内3的倍数共有666个,那么,666中又包含多少个5的倍数呢?666÷5=133……1。余1,比5小,可以不考虑。两者相减,便是所求的问题:666-133=533(个)。

解法(三) 把数字分段来考虑:比如在1~30中,3的倍数有10个,但要去掉同时能被3、5整除的数2个,还剩10-2=8(个)。1999÷30=66……19。余数19,19÷3=6……1。余数1比3小,不考虑,但要注意,在最后的6个3的倍数中,有一个是5的倍数(1995),应去掉。每段8个,共有:8×66+(6-1)=533(个)。

例2 43位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数都各不相同,每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片,画片只有两种,3分一张和5分一张,每人都尽量多买5分一张的画片。问所买的3分画片的总数是多少张?

[分析与解]先来分析一下题目的要求:

(1)从8分到5角就是以“分”为单位,从8到50的43个连续自然数,这正好与43个同学一一对应。

(2)每个同学都把身上带的全部钱各自买画片,就是每人都不许有余钱。

(3)每人既要把钱花光,又要尽量多买5分一张的画片。

    我们把钱数是5的倍数(0、15、20、25、30、35、40、45、50)的九个人分为一类。他们不能买3分一张的画片。

    钱数被5除余3分(8、13、18、23、28、33、38、43、48)的九个人分为另一类。他们可以买1张3分的画片,9人共买9张。

    钱数被5除余1分(11、16、21、26、31、36、41、46)的八个人分为第三类。因为他们身上所余的钱数不是3的倍数,只好退下一个5分与余数1分合成6分,这样每人可以买2张3分画片,8人共买:2×8=16(张)。

    用同样的方法,把钱数被5除余2分的8个人再分为一类,每人可买3分画片4张,共买:4×8=32(张)。

    把钱数被5除余4分的9个人也分为一类,他们每人可买3分画片3张,共买:3×9=27(张)。

   因此,他们所买3分画片的总数共是:

9+16+32+27=84(张)。

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